Bénéfice d'une entreprise***

Une petite entreprise fabrique des pièces mécaniques sur mesure pour l’industrie locale. Chaque pièce est vendue 95 € et le coût de production dépend du nombre de pièces fabriquées.

• Quand la production est faible, les coûts sont élevés à cause des frais fixes et de la sous-utilisation des machines.
• Si la production augmente trop, les coûts augmentent fortement en raison de la maintenance des machines et du prix de l'énergie.

Le coût de production pour \(x\) pièces est modélisé par la fonction \(C(x)=0{,}5x²-30x+1872\) sur l'intervalle \([0{;}300]\).

La recette est donnée par la fonction \(R(x)=95x\).

Pour calculer le bénéfice réalisé pour \(x\) pièces vendues, on soustrait le coût de production à la recette `B(x)=R(x)-C(x)`.

Problématique : combien de pièces l'entreprise doit-elle fabriquer pour obtenir le bénéfice maximal ?

Coup de pouce : une perle est là pour vous aider !

1. Calculer le bénéfice réalisé pour 100 pièces fabriquées.

2. Montrer que le bénéfice `B(x)` peut s'écrire \(B(x)=-0{,}5x^2+125x-1872\).

3. Résoudre, en utilisant la méthode de votre choix, l'équation `B(x)=0`.

4. Écrire le polynôme `B(x)` sous forme factorisée.

5. Compléter le tableau de signes de la fonction.

6. Déterminer l'abscisse `x_{s}` du sommet de la parabole.

7. Calculer le maximum de la fonction `B`.

8. Combien l'entreprise doit-elle produire de pièces pour gagner de l'argent ?

9. Répondre à la problématique de l'activité.